EL ORDEN NO IMPORTA

Cuentamal había planificado un día muy divertido, pero no se atrevía a salir de la casa y bajar las escaleras. La mañana anterior había contado los escalones cuando había bajada a desayunar y le habían salido 10. Pero cuando volvió a subir para dormir, había contado 11. Si había menos escalones al bajar que al subir, ¡a lo mejor se iba a dar un tortazo! Así que se quedó sentado mirando cómo salía el sol. Era un día muy hermoso. El cocinero se acercó al pie de la escalera y le gritó que su desayuno se estaba enfriando. Sus amigos también se acercaron para decirle que se iban de excursión. Pero Cuentamal no quería bajar y todos se fueron. Entonces llegó Cuentabien y subió corriendo escaleras arriba para preguntar a su hermano Cuentamal si le pasaba algo. Cuando oyó que Cuentamal tenía miedo de caerse por las escaleras, Cuentabién exclamó: “¡No puede ser! ¡Las escaleras tienen el mismo número de escalones tanto si subes como si bajas!” Arrastró a Cuentamal fuera de la cama y lo llevó hasta las escaleras . Cuentamal estaba asustado, pero daba gracias a su hermano por arriesgarse a caer. Cuentabién bajó por las escaleras contando cada escalón: “10”. Luego volvió a subir contando otra vez os escalones, y también le salieron 10. “Es la misma escalera, así que tiene el mismo número de escalones”, dijo Cuentabién. Cuentamal se puso a dar saltos de alegría, dio miles de gracias a su hermano, y bajó corriendo las escaleras para salir del castillo y pillar a sus amigos para ir con ellos de excursión.


Este cuento y algunos más de Cuentabien y Cuetamal pueden encontrarse en:
Baroody, A.J. (1988). “El pensamiento matemático de los niños”. Visor. Aprendizaje

EL CUENTO DE LA CUENTA

- Había una vez, hace mucho tiempo, un pastor que solamente tenía una oveja, empezó el hombre. Como sólo tenía una, no necesitaba contarla: si la veía, es que la oveja estaba allí; si no la veía, es que no estaba, y entonces iba a buscarla... Al cabo de un tiempo, el pastor consiguió otra oveja. La cosa ya era más complicada, pues unas veces las veía a ambas, otras veces sólo veía una, y otras ninguna...
- Ya sé cómo sigue la historia -lo interrumpió Alicia-. Luego el pastor tuvo tres ovejas, luego cuatro..., y si seguimos contando más ovejas me quedaré dormida.
- No seas impaciente, que ahora viene lo bueno. Efectivamente, el rebaño del pastor iba creciendo poco a poco, y cada vez le costaba más comprobar, de un solo golpe de vista, si estaban todas las ovejas o faltaba alguna. Pero cuando tuvo diez ovejas hizo un descubrimiento sensacional: si levantaba un dedo por cada oveja y no faltaba ninguna, tenía que levantar todos los dedos de las dos manos.
- Vaya tontería de descubrimiento -comentó Alicia.
- A ti te parece una tontería porque te enseñaron a contar de pequeña, pero al pastor nadie le había enseñado. Y no me interrumpas... Mientras el pastor sólo tuvo diez ovejas, todo fue bien; pero pronto consiguió algunas más, y entonces ya no le bastaban los dedos.
- Podía usar los dedos de los pies.
- Si hubiera ido descalzo, tal vez, convino él -. De hecho, algunas culturas antiguas los usaban, y por eso contaban de veinte en veinte en vez de hacerlo de diez en diez como nosotros. Pero el pastor llevaba alpargatas, y habría sido muy incómodo tener que descalzarse para contar. De modo que se le ocurrió una idea mejor: cuando se le acababan los diez dedos, metía una piedrecilla en su cuenco de madera, y volvía a empezar a contar con los dedos a partir de uno, pero sabiendo que la piedra del cuenco valía por diez.
- ¿Y no era más fácil acordarse de que ya había usado los dedos una vez?
- Como dice el proverbio, sólo los tontos se fían de su memoria. Además, ten en cuenta que nuestro pastor sabía que su rebaño iba a seguir creciendo, por lo que necesitaba un sistema que sirviera para contar cualquier cantidad de ovejas. Por otra parte, la idea de las piedras le vino muy bien para descansar las manos, pues en vez de levantar los dedo para la primera decena de ovejas, empezó a usar piedras que metía en otro cuenco, esta vez de barro.
- Qué lío!
- Ningún lío. Es más fácil de hacer que de explicar: al empezar a contar las ovejas, en vez de levantar dedo iba metiendo piedras en el cuenco de barro, y cuando llegaba a diez vaciaba el cuenco y metía una piedra en el cuenco de madera, y luego volvía a llenar el cuenco de barro hasta diez. Si al final tenía, por ejemplo, cuatro piedras en el cuenco de madera y tres en el de barro, sabía que había contado cuatro veces diez ovejas más tres, o sea, cuarenta y tres.
- ¿Y cuando llegó a tener diez piedras en el cuenco de madera?
- Buena pregunta. Entonces echó mano de un tercer cuenco, de metal, metió en él una piedra que valía por las diez del cuenco de madera y vació éste. O sea, que la piedra del cuenco de metal valía por diez del cuenco de madera, que a su vez valían cada una por diez piedras de cuenco de barro.
- Lo que quiere decir que la piedra del cuenco de metal representa cien ovejas.
- Muy bien, veo que has captado la idea. Si al cabo de una jornada de pastoreo, tras meter las ovejas en el redil y contarlas una a una, el pastor se encontraba, por ejemplo, con esto -dijo el hombre, tomando de nuevo el bolígrafo y dibujando en el cuaderno de Alicia:

- Quiere decir que tenía doscientas catorce ovejas -concluyó ella.
- Exacto, ya que cada piedra del cuenco de metal vale por cien, la del cuenco de madera vale por diez y las del cuenco de barro valen por una.
Pero entonces al pastor le regalaron un bloc y un lápiz...
- No puede ser, protestó Alicia, el bloc y el lápiz son inventos recientes; los números se tuvieron que inventar mucho antes..
- Esto es un cuento, marisabidilla, y en los cuentos pueden pasar cosas inverosímiles. Si te hubiera dicho que entonces apareció un hada con su varita mágica, no habrías protestado; pero mira cómo te pones por un simple bloc...
- No es lo mismo: en los cuentos pueden aparecer hadas, pero no aviones ni cosas modernas.
- Está bien, está bien: si lo prefieres, le regalaron una tablilla de arcilla y un punzón. Y entonces en vez de usar cuencos y piedras de verdad, empezó a dibujar en la tablilla unos círculos que representaban los cuencos y a hacer marcas en su interior, como acabo de hacer yo en tu cuaderno. Sólo que, en vez de puntos, hacía rayas para verlas mejor, Por ejemplo,

significaba ciento cuarenta y dos. Pero pronto se dio cuenta de que las rayas, si las hacía todas verticales, no eran cómodas, pues no resultaba fácil distinguir, por ejemplo, siete de ocho u ocho de nueve. Entonces empezó a diversificar los números cambiando la disposición de las rayas:

A medida que iba familiarizándose con los nuevos números, los escribía cada vez más deprisa, sin levantar el lápiz del papel (perdón el punzón de la tablilla), y empezaron a salirle así:

Poco a poco fue redondeando las siluetas de sus números con trazos cada vez más fluidos hasta que acabaron teniendo este aspecto:

---------------------------------- 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Pronto comprendió que no hacía falta poner los círculos que representaban los cuencos, ahora que los número eran compactos y no podían confundirse con las rayas de uno con las del de al lado. Así sólo dejó el círculo del cuenco cuando estaba vacío; por ejemplo, si tenía tres centenas, ninguna decena y ocho unidades, escribía:
----------------------------------------3 o 8
- ¿Y no es más fácil dejar sencillamente un espacio en blanco? – Preguntó Alicia.
- No, porque el espacio en blanco sólo se ve si tiene un número a cada lado. Pero para escribir treinta, por ejemplo, que son tres decenas y ninguna unidad, no puedes escribir sólo 3, porque eso es tres. El pastor acabó reduciéndolo para que fuera del mismo tamaño que los demás signos, con lo que el trescientos ocho del ejemplo anterior acabó teniendo este aspecto:
-----------------------------------------308
Había inventado el cero, con lo que nuestro maravilloso sistema de numeración estaba completo.

El autor del cuento es Carlo FrabettiPublicado en el libro "Malditas Matemáticas". Alfaguara juvenil.